Могут ли меня в таком случае уволить?

2. Могу ли я не увольняться, какие мне необходимо оформить документы на работе? Оформлять декретный отпуск без содержания?

Вы можете оформить отпуск по уходу за ребенком также, но пособие будет получать только один родитель в этом случае, также это следует из 

ч. 4 ст. 11.1 Федерального закона от 29.12.2006 N 255-ФЗ  «Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством». 

Ограничений законодательством на то, что отпуск по уходу за ребенком может оформить только один родитель не установлено. 

У вас есть право на получение отпуска по уходу за ребенком до достижения им возраста трех лет, согласно ст. 256 ТК РФ. 

3. Могут ли меня в таком случае уволить?

Нет, Вас не могут уволить. Так, согласно ст. 256 ТК РФ 

На период отпуска по уходу за ребенком за работником сохраняется место работы (должность).

Если отпуск по уходу за ребенком Вы не оформите, то также есть установленные гарантии на расторжения договора с женщиной, имеющей ребенка до трех лет, в соответствии со ст. 261 ТК РФ  — возможно увольнение только в случае ликвидации работодателя — ИП, организации, и также за виновные действия ( предусмотренные п.  5 — 8, 10 или 11 части первой статьи 81 или пунктом 2 статьи 336 Трудового Кодекса) 

С учетом моих ответов выше далее:

Также общие положения закрепляет    Федеральный закон от 19.05.1995 N 81-ФЗ   «О государственных пособиях гражданам, имеющим детей» и его  Статья 13. Право на ежемесячное пособие по уходу за ребенком, можете ознакомиться полностью по следующей ссылке:https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_6659/25110bf284e89644efcba097c2813f55d0adda0b/

Из статьи следует:

Право на ежемесячное пособие по уходу за ребенком имеют:

 матери либо отцы, другие родственники, опекуны, фактически осуществляющие уход за ребенком, подлежащие обязательному социальному страхованию…

Также общие положения закрепляет Федеральный закон от 29.12.2006 N 255-ФЗ   «Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством»  и его  статья 11.1. Условия и продолжительность выплаты ежемесячного пособия по уходу за ребенком, можете ознакомиться полностью по следующей ссылке:https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_64871/ce727f48032d92e0b9cbf635aad18b2c6c470610/

Из статьи следует:

1. Ежемесячное пособие по уходу за ребенком выплачивается застрахованным лицам (матери, отцу,… фактически осуществляющим уход за ребенком и находящимся в отпуске по уходу за ребенком…
Пособие выплачивается до достижения ребёнком возраста полутора лет.

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.

С учетом моих ответов выше далее:

Отец  ребенка вправе  подать письменное заявление о предоставлении ему отпуска по уходу за ребенком.

Порядок регулируется  Приказом  Минтруда России от 29.09.2020 N 668н  «Об утверждении Порядка и условий назначения и выплаты государственных пособий гражданам, имеющим детей», можете ознакомиться по следующей ссылке:https://docs.cntd.ru/document/566085718

Также общие положения закрепляет Федеральный закон от 29.12.2006 N 255-ФЗ   «Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством»  и его  статья 11.1. Условия и продолжительность выплаты ежемесячного пособия по уходу за ребенком, можете ознакомиться полностью по следующей ссылке:https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_64871/ce727f48032d92e0b9cbf635aad18b2c6c470610/

Из статьи следует:

1. Ежемесячное пособие по уходу за ребенком выплачивается застрахованным лицам (матери, отцу… со дня предоставления отпуска по уходу за ребенком до достижения ребенком возраста полутора лет.

Однако, следует отметить следующее

С позиции  Роструда РФ по следующей официальной ссылке:

Законодательством РФ напрямую не установлен запрет на одновременное нахождение в отпуске по беременности и родам матери ребенка и в отпуске по уходу за ребенком отца ребенка в отношении одного ребенка. Отпуск по уходу за ребенком до трех лет может быть оформлен с момента рождения ребенка.-https://онлайнинспекция.рф/questions/view/93943

Имеется судебная практика указывающая  что действующее законодательство не предполагает возможность выплаты отцу находящемуся в отпуске по уходу за ребенком ежемесячного пособия  одновременно с выплатой пособия по беременности и родам матери пребывающей в в отпуске по БиР  фактически ухаживающей за  ребенком.

Можете ознакомиться с информацией по следующей ссылке:

Если мать ребенка не находится в отпуске по беременности и родам, отец может взять отпуск по уходу за ребенком сразу после его рождения и получать пособие-https://www.garant.ru/news/1413203/

Т.е. в такой ситуации отец может взять отпуск по уходу, но пока мать ребенка находится в отпуске по БиР и получает пособие по БиР имеет право на него, пособие по уходу отцу выплачиваться не должно. Только после окончания у матери отпуска по БиР и прекращения получения ею пособия, отец ребенка вправе получать пособие по уходу находясь в таком отпуске, но только если мать ребёнкв не оформила отпуск по уходу с получением пособия ранее, так как  находиться одновременно в отпуске по уходу могут оба. но получать пособие по уходу только один, право получения этого пособия другому не передаётся.

 Федеральный закон от 29.12.2006 N 255-ФЗ   «Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством»  и его  статья 11.1. Условия и продолжительность выплаты ежемесячного пособия по уходу за ребенком, можете ознакомиться полностью по следующей ссылке:https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_64871/ce727f48032d92e0b9cbf635aad18b2c6c470610/

Из статьи следует:

4. В случае, если уход за ребенком осуществляется одновременно несколькими лицами, право на получение ежемесячного пособия по уходу за ребенком предоставляется одному из указанных лиц.

2. Могу ли я не увольняться, какие мне необходимо оформить документы на работе? Оформлять декретный отпуск без содержания?

Увольняться или нет решать Вам.

В начале ему оформить отпуск по уходу с получением пособия по уходу, после чего и Вы можете оформить такой же отпуск но без получения пособия по уходу.

Во вложении к ответу типовые формы рекомендованные Рострудом РФ.

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.