Здравствуйте.
Если Вы 5 августа подали документы на РВП, а затем действительно переехали с прежнего адреса на съемную квартиру и надлежащим образом оформили регистрацию по новому адресу, сама по себе такая смена места проживания не должна являться основанием для отказа в РВП.
В ст. 7 Федерального закона № 115-ФЗ смена регистрации после подачи заявления не предусмотрена как самостоятельное основание для отказа. КонсультантПлюс
Однако важно, чтобы при подаче заявления Вы сообщили достоверные сведения о месте проживания на тот момент, а новая регистрация также была оформлена законно. Предоставление заведомо ложных сведений или подложных документов уже является основанием для отказа. КонсультантПлюс
Я бы рекомендовал дополнительно уведомить подразделение по вопросам миграции МВД, в котором находится Ваше заявление на РВП, о смене фактического адреса и представить сведения о новой регистрации. Так Вы исключите ситуацию, когда при проверке МВД увидит расхождение между адресом в заявлении и Вашими актуальными регистрационными данными.
Если напишете, в каком регионе Вы подавали документы на РВП и в каком регионе зарегистрировались сейчас, можно будет точнее определить, возникает ли дополнительный вопрос из-за смены именно субъекта РФ.