Просто договориться с матерью можно письменно у нотариуса, что ребёнок живёт с отцом, ст. 65 СК РФ. Но такое соглашение её ни к чему не обязывает, завтра передумает и заберёт, закон будет на её стороне.
Поэтому если хотите всерьёз, мужу нужно идти в районный суд с иском об определении места жительства сына с ним. Ребёнку 10 лет, его мнение суд выслушает обязательно. Заодно взыскать с матери алименты. Судебное решение она уже не перечеркнёт, придётся доказывать в новом процессе, что обстоятельства изменились.
Готовьтесь к вопросу суда, кто занимается ребёнком, пока отец на вахте. У вас как у мачехи никаких прав нет, и это главная уязвимость позиции. Совсем закрыть матери дорогу назад могло бы только лишение родительских прав, но за то, что она сама отдала ребёнка отцу, никто её прав не лишит.