Добрый день. Отрабатывать или нет работнику решает работодатель. Специальных правил о порядке отработки при увольнении нет.
Продолжительность отработки напрямую зависит от того, за какой срок работник предупреджает об увольнении, ведь обычно под отработкой подразумевают именно период, длящийся после предупреждения об увольнении до дня увольнения.
Работник может уволиться без отработки (в дату, указанную в заявлении), если у него есть уважительная причина или работодатель с ним достигли соглашения об этом.
Кроме того, обязанность уволить работника без отработки есть, если уполномоченным органом (например, государственной инспекцией труда) установлено, что допущено нарушение нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий трудового или коллективного договора, соглашения (ч. 2, 3 ст. 80 ТК РФ).
Уважительными причинами увольнения без отработки считаются поступление работника в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи, когда работник по объективным причинам не может продолжать работу (ч. 3 ст. 80 ТК РФ, пп. «б» п. 22 Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 17.03.2004 N 2).
Перечень причин, препятствующих продолжению работы, открытый.
В каждом конкретном случае оценивается уважительность таких причин.
Но такого основания как «работать неофициально» у этого же работодателя законодательство не содержит.
В законе нет такого понятия как неофициальная работа — если Вы так договорились с администрацией, то и насчёт отработки договаривайтесь, они имеют право занять формальную позицию и требовать отработки, никаких исключений в указанных Вами случаях, при продолжении работы неофициально, в законе нет.