Здравствуйте, Анна. 1. Несмотря на пожелания работника, вы не обязаны их выполнять. Уволить работника без отработки — ваше право, а не обязанность. Поэтому можете не торопиться и уволить его, как положено, через две недели.
2. Если считаете нужным, можете уволить его и с 28 числа, несмотря на болезнь.
Запрет на увольнение работника во время болезни касается только увольнения по инициативе администрации. Работник увольняется по собственной инициативе, поэтому вполне правомерно его увольнение и на больничном.
3. Если работник заболел в течение месяца после увольнения, работодатель обязан оплатить больничный. Ваш работник заболел еще до увольнения. Поэтому в случае предъявления больничного после увольнения вы обязаны будете оплатить ему больничный.