Здравствуйте, Мария!
Расторжение трудового договора — это неотъемлемое право работника, предусмотренное статьей 21 Трудового кодекса. Однако абзац 1 статьи 80 ТК РФ предусматривает обязанность работника предупредить работодателя об этом не менее чем за 2 недели.
Хотя расторжение трудового договора и возможно до истечения этого срока, для этого нужно соглашение сторон. В Вашем случае, как я понимаю, его достигнуть проблематично.
Конечно, непринятие у Вас заявления — это нарушение Ваших трудовых прав. Если заявление не было надлежащим образом зарегистрировано, доказать, что Вы подали его именно 31 декабря будет непросто.
Так что реалистичнее ориентироваться на дату отправки телеграммы. Обращаю Ваше внимание, что она должна иметь отметку «заверенная» (п. 108 Требований к оказанию услуг телеграфной связи, утв.Приказом Мининформсвязи России от 11.09.2007 №108), чтобы надлежащим образом подтвердить, что волеизъявление о прекращении трудовых отношений исходит именно от Вас.
Таким образом, трудовой договор будет расторгнут 17 января (3 января + 14 дней). Теперь определяемся с рабочими днями. Согласно ст. 112 ТК РФ, нерабочими праздничными в интересующий нас период являются:
1, 2, 3, 4, 5, 6 и 8 января — Новогодние каникулы;
7 января — Рождество Христово;
9, 15 и 16 января — выходные дни (если Вы трудитесь на пятидневке).
Получается, что с 10 по 14 января включительно Вам необходимо выйти на работу, в противном случае работодатель имеет право уволить Вас за прогул с формулировкой «пп. а) п. 6 ст. 81 ТК РФ».
Никакой статьи (если Вы имеете в виду административную или уголовную ответственность) Вам не грозит, однако трудовая книжка и, как следствие, профессиональная репутация будет испорчена. Обычно во избежание подобного исхода берут больничный на срок, который нужно отработать.