Могут ли штрафовать при ученическом договоре, не выдавая его?

Смотря за что штрафуют и при каких обстоятельствах.

На учеников распространяется трудовое законодательство, включая законодательство об охране труда (ст.205 ТК РФ)

По трудовому законодательству работник может быть привлечен к дисциплинарной ответственности: замечание, выговор, увольнение; к материальной ответственности: работник, причинивший ущерб работодателю, возмещает этот ущерб в соответствии с законодательством.

Ученический договор должен содержать: наименование сторон; указание на конкретную квалификацию, приобретаемую учеником; обязанность работодателя обеспечить работнику возможность обучения в соответствии с ученическим договором; обязанность работника пройти обучение и в соответствии с полученной квалификацией проработать по трудовому договору с работодателем в течение срока, установленного в ученическом договоре; срок ученичества; размер оплаты в период ученичества.

Ученический договор может содержать иные условия, определенные соглашением сторон. Вот здесь могут быть прописаны какие либо штрафы, но насколько они законы. не видя договора судить сложно, возможно с вас требуют не штраф, а компенсацию или возмещение.

По поводу отсутствия у вас экземпляра договора. В силу ст.205 ТК РФ (см.выше) следует рассматривать ситуацию по аналогии со ст. 67 ТК РФ: Один экземпляр трудового договора передается работнику, другой хранится у работодателя. Получение работником экземпляра трудового договора должно подтверждаться подписью работника на экземпляре трудового договора, хранящемся у работодателя. 

Пишите работодателю требование о выдаче вам экземпляра вашего договора.