Здравствуйте Наталья.
Законны ли требования руководителя учреждения?
Требования законны. Все дело в том, что Вы в настоящее время работником не являетесь, ранее в этом статусе Вы были вправе в порядке статьи 62 Трудового кодекса РФ запросить необходимые сведения, но тогда Вы являлись работником, т.е. лицом состоящим в трудовых правоотношениях с работодателем.
Статья 62 Трудового кодекса РФ:?
По письменному заявлению работника работодатель обязан не позднее трех рабочих дней со дня подачи этого заявления выдать работнику ...
Статья 20 Трудового кодекса РФ:
Работник — физическое лицо, вступившее в трудовые отношения с работодателем.
Т.е сейчас она к Вашей ситуации неприменима, как и все остальные положения трудового законодательства, так как Вы в трудовых правоотношениях уже не состоите.
А значит действительно, необходимо либо обратиться лично удостоверив свою личность паспортом, либо если запрашивать сведения дистанционно приложить копию паспорта.
Если же эти сведения нужны для предоставления в какую-либо организацию, по Вашему заявлению и согласию на запрос персональных данных у бывшего работодателя, она вправе самостоятельно направить к нему официальный запрос и получить эти сведения, т.е. это тоже один из возможных вариантов.
Дополнительно привожу текст вопроса, по поводу которого Роструд дал разъяснения. Никаких дополнительных документов, удостоверяющих личность, от работника не требуется.