Могут ли запретить работать и не оплачивать последнюю смену перед отпуском?

Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении

Как видно из вопроса заявление по собственному уже написано и сдано работодателю. Дата увольнения — после отпуска. Поскольку основание для расторжения договора — Ваше желание, то и дату увольнения определяете Вы (с учётом необходимости отработки двух недель). В противном случае, если работодатель хочет другую дату увольнения — это уже будет инициатива работодателя, которая может проявляться только в случаях, предусмотренных ст. 81 ТК РФ.

Какая дата увольнения должна стоять в трудовой книжке? (25.01 + 3 недели?)

Статья 127. Реализация права на отпуск при увольнении работника

При увольнении работнику выплачивается денежная компенсация за все неиспользованные отпуска.

По письменному заявлению работника неиспользованные отпуска могут быть предоставлены ему с последующим увольнением (за исключением случаев увольнения за виновные действия). При этом днем увольнения считается последний день отпуска.

Что делать, если в трудовой, возможно, уже написали дату увольнения 22.01 — настаивать на исправлении? 

Если он на это пойдут — можно просит об исправлении. Если это принципиальная позиция — то тут уже имеет место трудовой спор. Вы можете его инициировать с последующим возложением всех расходов на работодателя.