Как действовать, если начальник не подписывает заявку на пропуск?

Здравствуйте Сергей.

Конечно же не имеет такого права, это факт дискриминации в отношении Вас, что прямо запрещено трудовым законодательством.

Статья 3 Трудового кодекса РФ:

Каждый имеет равные возможности для реализации своих трудовых прав.

Никто не может быть ограничен в трудовых правах и свободах или получать какие-либо преимущества в зависимости от пола, расы, цвета кожи, национальности, языка, происхождения, имущественного, семейного, социального и должностного положения, возраста, места жительства, отношения к религии, убеждений, принадлежности или непринадлежности к общественным объединениям или каким-либо социальным группам, а также от других обстоятельств, не связанных с деловыми качествами работника.

Лица, считающие, что они подверглись дискриминации в сфере труда, вправе обратиться в суд с заявлением о восстановлении нарушенных прав, возмещении материального вреда и компенсации морального вреда.

Более того и Ваш нынешний работодатель нарушает законодательство, так как обязан в силу трудового договора и закона предоставить Вам работу.

Статья 22 Трудового кодекса рФ:

Работодатель обязан:
предоставлять работникам работу, обусловленную трудовым договором;

Вы вправе либо обратиться в трудовую инспекцию для проведения проверки, либо сразу с иском в суд.