О правомерности моих действий

я являюсь руководителем организации, за неисполнение пункта(очень важного в моей работе), определенного должностной инструкцией, утвержденной соответствующим образом, я приказом объявляю замечание сотруднику (без лишения премии ит.д., просто замечание), дать объяснения (написать объяснительную)он отказался, подписывать тоже, составился соответствующий акт отказа в даче объяснительной, в котором фигурировала графа акт составился в присутствии.....подписал его я и 2-а сотрудника, находившиеся в кабинете при составления данного акта. Сотрудник хочет обратиться в трудовую инспекцию и прокуратуру в связи с ущемлением его прав(по его мнению), служебное расследование я не проводил, т.к. инцидент связан непосредственно со мной и не требует доказательств проступка, к тому же заявления от работника с просьбой провести расследование не поступало. Законны ли мои действия если имеются документы(трудовой договор и должностная инструкция)