Здравствуйте.
1. Теоретически возможно, поскольку признание отношений трудовыми допускается, но в Вашем случае для такого признания скорее всего придется обращаться в суд.
Признание отношений, возникших на основании гражданско-правового договора, трудовыми отношениями может осуществляться:
...
судом в случае, если физическое лицо, являющееся исполнителем по указанному договору, обратилось непосредственно в суд, или по материалам (документам), направленным государственной инспекцией труда, иными органами и лицами, обладающими необходимыми для этого полномочиями в соответствии с федеральными законами.
В случае прекращения отношений, связанных с использованием личного труда и возникших на основании гражданско-правового договора, признание этих отношений трудовыми отношениями осуществляется судом. Физическое лицо, являвшееся исполнителем по указанному договору, вправе обратиться в суд за признанием этих отношений трудовыми отношениями в порядке и в сроки, которые предусмотрены для рассмотрения индивидуальных трудовых споров.
Статья 19.1. ТК РФ.
В Вашем случае имеются вполне подходящие доказательства, но оценить их достаточность и соответствие иным критериям затруднительно, даже если их изучить, так как последнее слово будет за судом.
Каждая сторона должна доказать те обстоятельства, на которые она ссылается как на основания своих требований и возражений, если иное не предусмотрено федеральным законом.
Суд определяет, какие обстоятельства имеют значение для дела, какой стороне надлежит их доказывать, выносит обстоятельства на обсуждение, даже если стороны на какие-либо из них не ссылались.
Статья 56 ГПК РФ.
Первоначально можно обратиться к работодателю с письменным требованием об оформлении трудовых отношений. Если работодатель откажется, Вы вправе обратиться в Государственную инспекцию труда, прокуратуру либо непосредственно в суд.
2. Отдельно нужно иметь в виду сроки, предусмотренные статьёй 392 ТК РФ. Если речь идёт о работе несколько лет назад, этот вопрос необходимо оценивать с учётом того, когда Вы прекратили работать и при каких обстоятельствах работодатель отказывался оформлять трудовые отношения.
Павел, дополню относительно сроков обращения в суд.
В судебной практике существует позиция, согласно которой трехмесячный срок, установленный ст. 392 ТК РФ, не распространяется на требования об установлении факта трудовых отношений.
В частности, Пятый кассационный суд общей юрисдикции в определении от 13.12.2022 по делу № 88-11147/2022 указал на применение общего трехлетнего срока исковой давности, предусмотренного ст. 196 ГК РФ.
Однако не рекомендую затягивать с обращением в суд, особенно если речь идет о восстановлении стажа за несколько лет.
Следует учитывать, что судебная практика по данному вопросу неоднозначна. Существует и противоположная позиция, согласно которой к требованиям об установлении факта трудовых отношений применяется трехмесячный срок, предусмотренный ч. 1 ст. 392 ТК РФ.
Так, в определении Третьего кассационного суда общей юрисдикции от 23.11.2022 № 88-19112/2022 суд согласился с отказом в удовлетворении требований об установлении факта трудовых отношений в связи с пропуском трехмесячного срока обращения в суд.
Именно поэтому я рекомендую не затягивать с обращением за судебной защитой. Применение конкретного срока зависит от обстоятельств дела и правовой оценки суда.