Обязать соседей перенести калитку почти наверняка не выйдет, а вот прекратить парковку напротив вашего выезда и взыскать за повреждённые ворота реально. Это два разных требования с разными адресатами, и путать их не стоит.
Калитка находится в границах их участка, и само по себе её расположение ваших прав не нарушает. Негаторный иск по ст. 304 ГК РФ удовлетворяют, когда доказано реальное препятствие в пользовании вашим имуществом, а не неудобство от соседского поведения. Выход калитки в переулок таким препятствием обычно не признаётся.
Парковка совсем другое дело. Переулок, куда вы выезжаете, скорее всего земля общего пользования, то есть не ваша и не соседская. Соседи не приобретают на неё прав оттого, что ставят там машины, но и вы не можете запретить стоянку своей волей. Зато остановка, при которой чужой выезд становится невозможным, прямо запрещена п. 12.4 ПДД, и это уже повод вызывать инспектора, а не разговаривать с водителем.
Наезд на ворота с последующим отъездом это дорожно-транспортное происшествие, а оставление места ДТП образует состав по ст. 12.27 КоАП РФ. Ущерб воротам возмещается по ст. 1064 ГК РФ, но только если установлен конкретный водитель.
Что делать:
1. Поставить камеру с обзором ворот и переулка. Без записи ни одно из требований не доказывается, и это сейчас главное.
2. По каждому случаю блокировки выезда вызывать ГИБДД и добиваться оформления материала, а не устного внушения.
3. По повреждению ворот подать заявление в ГИБДД с приложением записи. По нему устанавливают машину и владельца.
4. Обратиться в администрацию с заявлением об обустройстве проезда и установке знака, приложив фотофиксацию. Отказ администрации обжалуется и сам по себе становится доказательством в суде.
От одного обстоятельства зависит вся конструкция: переулок стоит на кадастровом учёте как земля общего пользования или он вошёл в границы участка соседей? Это видно на публичной кадастровой карте. Если участок соседей заканчивается до переулка, разговор идёт с администрацией и ГИБДД. Если переулок оказался внутри их границ, то это спор о сервитуте и о законности установления границ, и он ведётся совсем иначе.