Хотела бы у Вас узнать такое возможно вообще?

Ситуация непростая, но давайте разберёмся по шагам.

Что происходит
У вас две отдельные процедуры, которые наложились друг на друга:

Иностранные права перестали действовать в РФ. По закону № 196-ФЗ, после получения гражданства РФ иностранные права действуют ещё 1 год, а затем аннулируются. Вы этот год пропустили, поэтому ваши иностранные права в России больше не работают. rg.ru +1
Лишение права управления. Через месяц срок лишения заканчивается, и вы можете забрать права — для этого нужно сдать теоретический экзамен (проверку знания ПДД) и, если лишение было за нетрезвое вождение, предоставить медицинскую справку. consultant.ru +1
Почему ГАИ говорит про «ещё год»
Скорее всего, речь о статье 4.6 КоАП РФ и пункте 6 статьи 26 Закона № 196-ФЗ. Если лишение было за управление в нетрезвом виде (ч. 1 ст. 12.8), отказ от медосвидетельствования (ч. 1 ст. 12.26) или употребление алкоголя после ДТП (ч. 3 ст. 12.27), то вы считаетесь «подвергнутым наказанию» ещё 1 год после окончания срока лишения. В течение этого года вас не допускают к сдаче экзаменов на получение водительского удостоверения. its.1c.ru +1

Поскольку ваши иностранные права уже недействительны, получить российские — это не просто «обмен», а выдача нового удостоверения, которая требует сдачи экзамена. И вот на этот экзамен, по логике ГАИ, распространяется годичное ограничение.

Но есть нюанс — ограничение может не применяться
В разъяснениях МВД прямо сказано: ограничение по статье 4.6 не применяется в случае возврата водительского удостоверения после истечения срока лишения — то есть когда вы забираете права по Правилам возврата (Постановление № 1191). garant.ru +1

Получается, что процедура возврата прав после лишения (сдача теории, медсправка при необходимости, оплата штрафов) должна быть доступна вам сразу после окончания срока лишения. А уже результат сданного теоретического экзамена, по разъяснениям юристов, засчитывается при обмене иностранных прав на российские — повторно сдавать теорию не нужно. 

Что делать на практике
Шаг 1. После окончания срока лишения идите в ГИБДД за возвратом прав.

Сдайте теоретический экзамен (записаться можно лично в подразделении, где хранятся права).
Если лишение было за нетрезвое вождение — получите медсправку по форме № 003-В/у.
Оплатите все неоплаченные штрафы.
Заберите свои иностранные права. 
Шаг 2. Подайте заявление на обмен иностранных прав на российские.

Понадобятся: паспорт РФ, иностранные права, нотариально заверенный перевод (если права не на русском), медсправка, квитанция об оплате госпошлины (2 000 ₽).
Для категорий A, B и подкатегорий A1, B1 — достаточно теоретического экзамена. Если вы уже сдали теорию при возврате прав, она должна засчитываться. объясняем.рф +1
Для категорий C, D и выше — потребуется документ о квалификации из российской автошколы. 
Шаг 3. Если ГАИ отказывает — просите письменный отказ. Это важно: с письменным отказом можно обратиться к начальнику подразделения, в прокуратуру или в суд. Позиция МВД, согласно их собственным разъяснениям, на вашей стороне — возврат прав после лишения не должен блокироваться годичным ограничением. 

Шаг 4. Если лишение было не за «пьяную» статью (например, за выезд на встречку, превышение скорости и т. д.), то ограничение по п. 6 ст. 26 вообще не применяется, и ждать год нет никаких законных оснований.

Коротко
Если лишение было за нетрезвое вождение — ГАИ ссылается на годичное ограничение после окончания лишения. Но по разъяснениям МВД это ограничение не касается процедуры возврата прав. Попробуйте сначала пройти возврат (сдать теорию, забрать права), а затем обменять их на российские. Если отказывают — требуйте письменный отказ и обращайтесь к юристу.