Здравствуйте, Виктория!
Я бы не рекомендовал устанавливать сокращенное официальное наименование просто «Феникс».
Для автономного учреждения закон требует, чтобы его наименование содержало указание на организационно-правовую форму и характер деятельности. Кроме того, устав должен содержать наименование с указанием характера деятельности и собственника имущества, а также тип — «автономное учреждение» (ст. 6.1, 7 Закона № 174-ФЗ).
Поэтому безопаснее сохранить в сокращенном наименовании хотя бы обозначение «ГАУ» и индивидуализирующее название.
Например:
Полное: Государственное автономное учреждение молодежной политики «Центр поддержки талантливой молодежи „Феникс“».
Сокращенное: ГАУ «Феникс» либо ГАУ «Феникс.ВолгоМолодой».
Вариант ГАУ «Феникс.ВолгоМолодой» в принципе допустим, если именно такое сокращенное наименование будет закреплено в уставе и согласовано учредителем. При этом необходимо проверить региональные требования учредителя к наименованиям подведомственных учреждений.
Из предложенных вариантов юридически безопаснее ГАУ «Феникс.ВолгоМолодой» или просто ГАУ «Феникс». Использовать официально только «Феникс» без указания на учреждение не рекомендую.
Буду благодарен, если Вы оставите положительный отзыв или поддержите мою работу через кнопку «Отблагодарить юриста» в профиле. Спасибо за доверие!