Легализоваться в Беларуси сыну реально: для граждан Украины действует особый режим - освобождение от госпошлины за разрешение на временное проживание и вид на жительство, а также возможность не представлять часть документов, если объективной возможности их получить нет (Указ № 420 от 30.08.2014); наниматель при этом не платит пошлину за специальное разрешение на работу, что снимает главное возражение работодателей.
Обратиться в подразделение по гражданству и миграции нужно, пока не истёк разрешённый срок временного пребывания, - просрочка сама по себе становится основанием отказа и портит дальнейшую перспективу вида на жительство.
Отдельно о возвращении домой: отказ в пропуске в Шереметьево ещё не значит, что в отношении сына принято именно решение о неразрешении въезда, - это разные вещи, и от того, что стоит в его случае, зависит, есть ли путь в Луганскую область через территорию России, тем более что сам по себе статус гражданина Украины даёт право пребывать в России без ограничения срока и работать без патента при прохождении дактилоскопии и медосвидетельствования (Указ № 585). До выяснения основания повторно на границу ехать не стоит - второй отказ ухудшит положение.
В детальном разборе дам перечень документов и сроков для разрешения на временное проживание с правом трудоустройства в Беларуси, а также порядок выяснения и снятия запрета на въезд в Россию - чтобы сын мог вернуться домой к Вам, а не остаться в Минске навсегда.