Как узнать, числится ли человек в базе данных в Алуште?

Проверить можно, но не через открытую базу и не по простому звонку. «Алушта» в таком контексте — это закрытая система Минобороны по учету военнослужащих/ресурсному обеспечению, поэтому сведения дают только самому человеку или его представителю по доверенности.

Поэтому как супруга вы сами без доверенности, скорее всего, официальный ответ не получите: это персональные данные мужа. Сам муж вправе запросить подтверждение, обрабатываются ли его персональные данные, какие именно сведения внесены, источник их получения и срок обработки — это следует из норм закона о персональных данных.

Что делать:

Мужу подать письменное заявление в военкомат по месту воинского учета/жительства. Если известна воинская часть или орган, который вносил его в «Алушту», направить такое же заявление туда.
В заявлении писать не просто «числюсь ли я в Алуште», а конкретно:
«Прошу сообщить, содержатся ли в ПИРО/ПО “Алушта” сведения обо мне, какой текущий статус указан, дата и основание внесения, дата и основание исключения при наличии, а также прошу исправить сведения при выявлении ошибки».
Приложить копии паспорта, военного билета, контракта/справок/приказов, если они есть. Если обращаетесь вы — нужна нотариальная доверенность от мужа, одного свидетельства о браке обычно недостаточно.
Направить заявление заказным письмом с описью, через электронную приемную Минобороны либо сдать лично под отметку о принятии.
Ответ по обращению госорган обязан дать, как правило, в течение 30 дней с регистрации. Если ответят устно, откажут без причины или не ответят — жалоба в вышестоящий военкомат, Минобороны и военную прокуратуру. 
Важно: если вопрос связан с увольнением, категорией годности, выплатами или заключением нового контракта, нужно просить не только «есть/нет в базе», а именно текущий статус и основание внесения. Ошибка в статусе часто потом блокирует выплаты, увольнение или прохождение через военкомат.

У мужа на руках есть доверенность на вас или он сам может подписать и направить такое заявление?

Здравствуйте, Анна, г. Москва, 

Мой муж внесен в базу Алушта в 2023, хочу узнать стоит ли он там по настоящее время?

База «Алушта» — это внутренняя система Минобороны. Обратиться в военный комиссариат по месту жительства или месту службы мужа. Напишите письменное заявление. Направить официальный запрос в Министерство обороны РФ. Это можно сделать через раздел «Обращения граждан» на официальном сайте mil.ru или отправить письмо по почте. 
Если муж служит в конкретной части — обратиться в её кадровый орган. Как близкий родственник, вы имеете право запросить сведения.