Ирина Юрьевна, добрый день!
В Вашей ситуации необходимо установить отцовство, после чего можно внести данные об отце в свидетельство о рождении и изменить фамилию ребёнка.
Согласно ст. 48 СК РФ:
«Отцовство лица, не состоящего в браке с матерью ребенка, устанавливается путем подачи в орган записи актов гражданского состояния совместного заявления отцом и матерью ребенка»
Если есть возможность получить согласие отца, он может оформить заявление об установлении отцовства (в том числе через нотариуса или уполномоченное лицо в воинской части), после чего документы подаются в ЗАГС.
Если такой возможности нет, отцовство устанавливается через суд.
Согласно ст. 49 СК РФ:
«В случае рождения ребенка у родителей, не состоящих в браке между собой, и при отсутствии совместного заявления родителей или заявления отца ребенка (пункт 4 статьи 48 настоящего Кодекса) происхождение ребенка от конкретного лица (отцовство) устанавливается в судебном порядке по заявлению одного из родителей, опекуна (попечителя) ребенка или по заявлению лица, на иждивении которого находится ребенок, а также по заявлению самого ребенка по достижении им совершеннолетия. При этом суд принимает во внимание любые доказательства, с достоверностью подтверждающие происхождение ребенка от конкретного лица»
После установления отцовства сведения об отце вносятся в запись акта о рождении, и при необходимости можно изменить фамилию ребёнка.
Согласно ст. 59 СК РФ:
«По совместной просьбе родителей до достижения ребенком возраста четырнадцати лет орган опеки и попечительства исходя из интересов ребенка вправе разрешить изменить имя ребенку, а также изменить присвоенную ему фамилию на фамилию другого родителя»
Т.е. сначала необходимо установить отцовство (через ЗАГС или суд), после чего вносится запись об отце и при необходимости меняется фамилия ребёнка.
Если мой ответ был Вам полезен, буду признательна за его оценку.