Как мне доказать что 1 месяц я осущ

Здравствуйте, 31мая 24г увольняюсь с работы, а 1.06 меня переводят по тр.договору гпх до 28.06. Совершенно забыв про договор, трудовая же на руках я устраиваюсь по уходу за инвалидом достигшего 80лет до конца сентября. 1.10 устраиваюсь на работу, и в ноябре мне приходит письмо с пенсионного что ч должна возместить компенсацию за все 4 мес. , так как осуществляла труд.деятельность. правомерно ли требовать компенсацию за те месяца которые я не работала. Как мне доказать что 1 месяц я осущ. труд деятельность а с июля по сентчбрь я не работала и получается не нарушала условия ухода за бабушкой 80 лет. Помогите пожалуйста!!!