Можно ли взыскать оплату за выполненную работу без письменного договора?

Здравствуйте. 

1. 

Я хочу узнать, есть ли возможность с юридической точки зрения добиться оплаты за выполненную работу, несмотря на отсутствие заключенного договора?»

 Формально договор между Вами есть, поскольку по смыслу законодательства договор — это любое соглашение о тех или иных правах и обязанностях. 

Договором признается соглашение двух или нескольких лиц об установлении, изменении или прекращении гражданских прав и обязанностей.

Статья 420 ГК РФ. 

При этом Вы, не заключив обычный письменный договор, просто существенно ограничили свою возможность доказать, что договор есть и что, самое главное, он заключен именно на тех или иных условиях. Помимо прочего, законодательством установлены отдельные последствия несоблюдения письменной формы договора:

 Несоблюдение простой письменной формы сделки лишает стороны права в случае спора ссылаться в подтверждение сделки и ее условий на свидетельские показания, но не лишает их права приводить письменные и другие доказательства.

Статья 162 ГК РФ. 

2. Подытоживая вышесказанное, право на взыскание оплаты у Вас определенно есть, но доказать это может быть не так просто. То, что сохранилась переписка — очень хорошо и это в случае чего может быть доказательством в суде, но как именно конкретный судья отнесется к представленным доказательствам, посчитает ли их достаточными, сказать невозможно. 

 Каждое лицо, участвующее в деле, должно доказать обстоятельства, на которые оно ссылается как на основание своих требований и возражений. Обязанность доказывания обстоятельств, послуживших основанием для принятия государственными органами, органами местного самоуправления, иными органами, должностными лицами оспариваемых актов, решений, совершения действий (бездействия), возлагается на соответствующие орган или должностное лицо.

Статья 65 АПК РФ. 

3. Что я бы рекомендовал сделать. Для начала направить заказчику претензию, в которой сослаться на фактические обстоятельства, привести скрины переписок и другие доказательства и указать, что будете вынуждены обратиться в суд. 
Далее уже действовать по реакции заказчика. 

Добрый день.

У вас переписка есть ?

Электронная ?  

СМС?

Здравствуйте!

м не был заключен официальный договор.

При наличии доказательств того, что существенные условия договора возмездного оказания услуг (ст.779)  были согласованы, договор считается заключенным. К такому договору применяются нормы Гражданского кодекса РФ о договоре возмездного оказания услуг.Стороны обязаны руководствоваться условиями, которые были согласованы ими таким образом.

подтверждается перепиской в электронных письмах.

Например, суды признают договор возмездного оказания услуг заключенным путем обмена документами и иными данными в случаях, когда: стороны обменивались письмами, подписали график оказания услуг;
оказание дополнительных услуг согласовано в переписке по электронной почте.Продолжу далее.