Нужно ли оплачивать обучение в вузе при переводе в другое учебное заведение?

С учетом моего ответа выше далее:

Это положения  Закона РФ от 07.02.1992 N 2300-1  «О защите прав потребителей» и его статья 32. Право потребителя на отказ от исполнения договора о выполнении работ (оказании услуг). содержание здесь:http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_305/758e2cfdf136a621c8f66dcb3372b772c7b5e6e8/

И положения Постановления Правительства РФ от 15 сентября 2020 года N 1441   «Об утверждении Правил оказания платных образовательных услуг», можете с ними ознакомиться полностью пройдя по этой ссылке:https://docs.cntd.ru/document/565798076

Рекомендуемый Роспотребнадзором  образец во вложении к ответу.

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.

С учетом моих ответов выше далее:

… планирует перевестись с 1-го курса Университета Профсоюзов в другой ВУЗ, окончив 1-й курс.

Это его право как обучающегося. оно закреплено в положениях указанных в  Федеральном  законе  «Об образовании в Российской Федерации» от 29.12.2012 N 273-ФЗ и его статье  61. Прекращение образовательных отношений, можете ознакомиться полностью пройдя по следующей ссылке:http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_140174/a01bc71a8144d13961c4a1b502062aa2d9399ac9/

Из статьи 61 прямо следует, что:

2. Образовательные отношения могут быть прекращены досрочно в следующих случаях:
1) по инициативе обучающегося или родителей (законных представителей) несовершеннолетнего обучающегося, в том числе в случае перевода обучающегося для продолжения освоения образовательной программы в другую организацию, осуществляющую образовательную деятельность;

Порядок перевода регулирует Приказ Министерства науки и высшего образования РФ   от 12 июля 2021 года N 607   Об утверждении Порядка перевода обучающегося в другую образовательную организацию, реализующую образовательную программу высшего образования соответствующего уровня, можете ознакомиться с ним полностью пройдя по следующей ссылке:https://docs.cntd.ru/document/608263919

За нарушение прав обучающихся предусмотрена административная ответственность статьей КоАП РФ Статья 5.57. Нарушение права на образование и предусмотренных законодательством об образовании прав и свобод обучающихся образовательных организаций-https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34661/2bc09fc727a25e944d906975af1e478f9626aef6/

Свои уточнения Вы также можете мне писать в личный чат, пройдя по ссылке на мой личный профиль:https://pravoved.ru/lawyer/798541/

нажав кнопку Общаться в чате".

Для этого, согласно п.п. 12, 14 Приказа Минобрнауки России от 12.07.2021 N 607 «Об утверждении Порядка перевода обучающегося в другую образовательную организацию, реализующую образовательную программу высшего образования соответствующего уровня» Обучающийся подает в свой ВУЗ Заявление о выдаче ему Справки о периоде обучения, а в новый ВУЗ — Заявление о переводе с приложением полученной Справки о периоде обучения и иные документы.  

При этом 

11. Перевод обучающихся допускается не ранее чем после прохождения первой промежуточной аттестации в исходной организации.

https://docs.cntd.ru/document/608263919?section=text

в договоре прописана оплата за следующий курс до 1 апреля текущего. Обязаны ли мы оплачивать следующий семестр, если перевод будет после сдачи текущей сессии, летом? Как правильно выстроить диалог с Вузом, чтобы не было проблем с переводом?

 Т.е. оплачивать за семестр после промежуточной аттестации — Вы не обязаны. 

При этом, получить Справку и подать Заявление в новый ВУЗ Вы также сможете только после  сдачи сессии. 

При этом срок оплаты установлен как 01.04 текущего учебного года, а просрочка является одним из оснований расторжения Договора по инициативе ВУЗа, согласно п. 22 Постановления Правительства РФ от 15.09.2020 N 1441 «Об утверждении Правил оказания платных образовательных услуг»

22. По инициативе исполнителя договор может быть расторгнут в одностороннем порядке в следующих случаях: г) просрочка оплаты стоимости платных образовательных услуг;

https://docs.cntd.ru/document/565798076

Т.о. можно перед наступлением 01.04 направить в Ваш ВУЗ Уведомление о расторжении договора оказания платных образовательных услуг в связи с переводом в иной ВУЗ и с просьбой выдать Справку о периоде обучения после прохождения промежуточной аттестации. 

С точки зрения гражданского законодательства Вы в любой момент в одностороннем порядке можете расторгуть Договор об оказании возмездного оказания услуг — ст. 782 ГК РФ. 

Такое расторжение будет — с даты получения Исполнителем Уведомления о расторжении договора — ст. 450.1 ГК РФ. 

ГК РФ Статья 450.1. Отказ от договора (исполнения договора) или от осуществления прав по договору

http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_5142/5a4f710216fdced777b2d5a1335560ccdefe66fd/

Поэтому при подаче Уведомления о расторжении Договора обязательно укажите, что расторгаете Договор после окончания летней сессии, и именно путем перевода в иной ВУЗ.