Могу ли я работать на другой Работе (частная организация), если нахожусь на листке нетрудоспособности по уходу за ребёнком до 7 лет по основному месту работы (гос.учреждение)?

тогда запретов нет, но в данном случае речь идет о совмещении, так как основным местом работы является организация, в которой Вам предоставлен отпуск по уходу за ребенком.

С учетом моего первого ответа выше далее:

Приведу  общие положения законодательства РФ и разъяснения касающиеся оформления совмещения.

Совместительство:

В соответствии с положениями статьи ТК РФ Статья 60.1. Работа по совместительству следует, что:

Работник имеет право заключать трудовые договоры о выполнении в свободное от основной работы время другой регулярной оплачиваемой работы у того же работодателя (внутреннее совместительство) и (или) у другого работодателя (внешнее совместительство).-http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/bac9b021a8ebb30fb12f7cd16b5c98cd528ff24a/

По совместительству оформляется  отдельный трудовой договор — совместительства, документы подавать как при приеме на работу по основному месту не нужно, так как это работа у того же работодателя и ему они были поданы при приеме на основное место работы.

ТК РФ Статья 282. Общие положения о работе по совместительству

Совместительство — выполнение работником другой регулярной оплачиваемой работы на условиях трудового договора в свободное от основной работы время.-http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/ba2f47a33497c69efe56d2fe80e9823446bcfc2b/

Совместительство  оформляется  приказом локальным актом работодателя о приеме на работу по совместительству, заключается   трудовой договор совместительства, оплата труда выплачивается согласно окладу и всем надбавкам и доплатам установленной для  этой должности штатным расписанием.

Но при этом в отличии от совмещения, работать  по совместительству в разрешается по закону, только в свободное от основной работы время и не более 4 часов в день общие требования.

ТК РФ Статья 284. Продолжительность рабочего времени при работе по совместительству-http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/b2c38fed466d631886d3b26c90754a31d282e3cf/

Все основные условия работы закрепляются также трудовым договором, в порядке предусмотренном статьей ТК РФ Статья 57. Содержание трудового договора --http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/2debf15d9e8f632d1a9626d60877f94e84c1cb7c/

Но для медицинских работников есть свои особенности.

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.

С учетом моих предыдущих ответов выше далее:

Так как в Вашем случае  речь идет о медицинском работнике, здесь обязательны к применению вторым работодателем положения, указанные в   Постановлении Минтруда РФ от 30.06.2003 N 41 «Об особенностях работы по совместительству педагогических, медицинских, фармацевтических работников и работников культуры», можете ознакомиться с ним полностью пройдя по следующей ссылке:http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_43729/

Из Постановления следует, что:

для медицинских и фармацевтических работников — половины месячной нормы рабочего времени, исчисленной из установленной продолжительности рабочей недели;

Т.е. следует обязательно устанавливать рабочее время для медицинского работника, которым вы являетесь по основному месту работы,, по второму месту работы в рамках внешнего совместительства с учетом приведенного выше Постановления Минтруда РФ от 30.06.2003 N 41 «Об особенностях работы по совместительству педагогических, медицинских, фармацевтических работников и работников культуры», иначе это будет являться нарушением.

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.