Есть ли закон, позволяющий учреждению принимать данные действия?

Такие действия противозаконны. Отпуск, в том числе дополнительный, продлевается на количество дней периода нетрудоспособности. 

ТК РФ Статья 124. Продление или перенесение ежегодного оплачиваемого отпуска

 
Ежегодный оплачиваемый отпуск должен быть продлен или перенесен на другой срок, определяемый работодателем с учетом пожеланий работника, в случаях:

временной нетрудоспособности работника;

 
исполнения работником во время ежегодного оплачиваемого отпуска государственных обязанностей, если для этого трудовым законодательством предусмотрено освобождение от работы;

 
в других случаях, предусмотренных трудовым законодательством, локальными нормативными актами.

 
Если работнику своевременно не была произведена оплата за время ежегодного оплачиваемого отпуска либо работник был предупрежден о времени начала этого отпуска позднее чем за две недели до его начала, то работодатель по письменному заявлению работника обязан перенести ежегодный оплачиваемый отпуск на другой срок, согласованный с работником.

В исключительных случаях, когда предоставление отпуска работнику в текущем рабочем году может неблагоприятно отразиться на нормальном ходе работы организации, индивидуального предпринимателя, допускается с согласия работника перенесение отпуска на следующий рабочий год, если иное не предусмотрено настоящим Кодексом. При этом отпуск должен быть использован не позднее 12 месяцев после окончания того рабочего года, за который он предоставляется.

 
Запрещается непредоставление ежегодного оплачиваемого отпуска в течение двух лет подряд, а также непредоставление ежегодного оплачиваемого отпуска работникам в возрасте до восемнадцати лет и работникам, занятым на работах с вредными и (или) опасными условиями труда.

Нет. Нахождение на больничном никак не связано ни с основным отпуском, ни с дополнительным