И вот я приезжаю когда они должны съехать в соответствии с договором, а они не хотят съезжать, сказали, что подадут на меня в суд чтобы взыскать деньги, которые они мне заплатили за год

Яна, добрый день!

Вызывайте полицию. У данных людей отсутствуют основания пребывать в данной квартире. То что Вы не собственник — это не важно. Истребование имущества из чужого незаконного владения возможно и третьими лицами. Если полиция откажет, обращайтесь в прокуратуру.

Добрый день, Яна!

Вам нужна доверенность на право распоряжения, в которой будет написано то, что Вы имеете право сдавать принадлежащее ей помещение в наем.

Сделайте еще с тещей договор аренды с правом субаренды. И говорите, что так Вы передали им помещение в субаренду, на что имеете полное право.

Если Вам нужна более подробная консультация по данному вопросу или подготовка/проверка документов, то можете обращаться ко мне в чат, там мы согласуем все условия оказания этой услуги. Для того, чтобы написать мне в чат, необходимо зайти в мой профиль: pravoved.ru/lawyer/2587318/, после этого нажать кнопку «Обратиться к юристу» или «Сообщение юристу».

Здравствуйте.

Тёща может выслать мне доверенность, 

В данном  случае  не  можно, а  нужно! Нужно наличие  доверенности от  собственника  на право  передачи  квартиры  в наём. В договоре нужно  было  указать  на  то, что Вы  действуете  по доверенности, но теперь  это  запоздалое  решение -  Вы  действовали без  полномочий  собственника.

сказали, что подадут на меня в суд чтобы взыскать деньги, которые они мне заплатили за год.

да,  в  принципе  могут, но есть  способ  урегулирования  спора  до  суда  и вызова  полиции.

Яна,  для  подробной  юридической  помощи  напишите мне  сообщение  в мой  чат — кнопка «общаться  в чате».