Здравствуйте, Иван!
Исходя из ч. 3 ст. 432 ГК РФ, договор Вы уже заключили, поскольку каждая из сторон приняла исполнение по нему, что подтверждается актом выполненных работ с одной стороны и чеком об оплате — с другой.
В Вашей ситуации не соблюдена лишь письменная форма договора. Согласно ст. 434 ГК РФ, она обязательна только в том случае, если того требует закон. Главы 37 и 39, регулирующие выполнение работ и оказание услуг, обязательной письменной формы не требуют.
Но если клиент просит, пойти ему навстречу можно. Главное при этом — поставить правильные даты (не сегодня-завтра, а когда фактически он был заключен) и увязать его с актом.
Могу предположить, что клиент пытается взыскать с третьего лица возмещение вреда, выразившегося в расходах на устранение плесени, и договор в письменной форме нужен ему для доказательства понесенных затрат. Например, акт мог оказаться для суда недостаточно информативным для этих целей.
Конечно бывают случаи, когда условия договора заключаются за прошедший период времени.
Если вы заключите такой договор, то какого то вреда для вас в этом случаи не наступит, но и заключать резонных причин нет. На ваше усмотрение.