Если могут, то в каких случаях?

— могут ли уволить военнослужащего, поставленного в очередь на улучшение жилищных условий или получение жилищной субсидии, без предоставления ему жилой площади или жилищной субсидии? Если могут, то в каких случаях?

 Могут, если у него есть служебное жилье.

ОБ этом в частности высказывался Верховный суд в своих актах

Решение Верховного Суда РФ от 20.06.2007 N ВКПИ07-30

...

Таким образом, законодательство Российской Федерации не исключает возможность обеспечения военнослужащего жильем сначала на общих основаниях, а затем в целях последующего увольнения и с учетом выраженного им желания — по избранному им месту постоянного жительства.
Однако такие военнослужащие, даже после признания их нуждающимися в улучшении жилищных условий по избранному месту жительства (в порядке подпункта «и» пункта 7 раздела II Правил, утвержденных Постановлением Правительства Российской Федерации N 1054 от 6 сентября 1998 года), не могут претендовать на социальную гарантию, установленную в абзаце 2 пункта 1 статьи 23 Федерального закона от 27 мая 1998 года N 76-ФЗ «О статусе военнослужащих»,поскольку они обеспечены жильем по прежнему месту жительства — по месту военной службы.

 Решение Судебной коллегии по делам военнослужащих Верховного Суда РФ от 14.09.2016 N ВКАПИ16-44

...

Анализируя приведенные выше нормы во взаимосвязи, суд приходит к выводу о том, что военнослужащие, указанные в абзаце втором пункта 1 статьи 23 Федерального закона «О статусе военнослужащих», пожелавшие воспользоваться правом на выбор постоянного места жительства при увольнении с военной службы с обеспечением их жилыми помещениями,вне зависимости от формы такого обеспечения при перемене места жительства не могут претендовать на социальную гарантию в виде запрета на увольнение без их согласия до получения жилых помещений при условии, что они до этого обеспечены жилым помещением, в том числе служебным, из которого не подлежат выселению до предоставления жилья для постоянного проживания.

— какое максимальное количество раз могут предлагать венному или военнослужащему, уволенному в запас, жилое помещение, которое должно перейти в собственность военнослужащего, имеющего на это право? Если военнослужащий постоянно отказывается от предлагаемых вариантов, могут ли его снять с очереди на получение жилья и лишить данного права?

 Нет, снять не могут, но если он военнослужащий, он будет уволен (абз. 3 п.1 ст. 23 Закона   от 27.05.1998 N 76-ФЗ «О статусе военнослужащих»), а если не военнослужащий, то просто его жилое помещение будет предложено другому.

Лично я случаев снятия с учета не встречал.

Количество предложений законом не ограничено

— в каких случаях военнослужащего, уволенного в запас и признанного нуждающимся в жилье/субсидии могут лишить данного права (в настоящее время семья нуждающегося проживает в квартире, принадлежащей матери, по договору жилищного найма, при этом общее с родителями хозяйства семья нуждающегося не ведет, семейные бюджеты разные, родители проживают отдельно)?

 Могут признать членами семьи, поскольку вселены к матери и отказать на основании ст.51 ЖК РФ

Статья 51. Основания признания граждан нуждающимися в жилых помещениях, предоставляемых по договорам социального найма
1. Гражданами, нуждающимися в жилых помещениях, предоставляемых по договорам социального найма, признаются (далее — нуждающиеся в жилых помещениях)
1) не являющиеся нанимателями жилых помещений по договорам социального найма, договорам найма жилых помещений жилищного фонда социального использования или членами семьи нанимателя жилого помещения по договору социального найма, договору найма жилого помещения жилищного фонда социального использования либо собственниками жилых помещений или членами семьи собственника жилого помещения

При этом, как разъяснял Верховный суд в Постановлении Пленума № 14 от 2009 года, 

При этом, учитывая положения части 1 статьи 31 ЖК РФ, следует иметь в виду, что поскольку ведение общего хозяйства между собственником жилого помещения и лицом, вселенным им в данное жилое помещение, не является обязательным условием признания его членом семьи собственника жилого помещения, то и отсутствие ведения общего хозяйства собственником жилого помещения с указанным лицом либо прекращение ими ведения общего хозяйства (например, по взаимному согласию) само по себе не может свидетельствовать о прекращении семейных отношений с собственником жилого помещения.

Тогда придется правоту доказывать уже в районному суде (если отказ будет в период службы)

если у военнослужащего, уволенного в запас по состоянию здоровья и признанного нуждающимся в получении жилья или жилищной субсидии, после увольнения родился третий ребенок, появляется ли у него право на увеличение жилищной субсидии/площади жилого помещения, а также на получение жилья или субсидии во внеочередном порядке?

 Да, в силу п. 17 ст. 15   Закона от 27.05.1998 N 76-ФЗ «О статусе военнослужащих», будет положено внеочередное жилье, с учетом родившегося ребенка