Как нам поступить в этой ситуации

Как вариант, если не оформлять права на отца, то после его смерти возможно будет в судебном порядке признать факт принятия наследства отцом после смерти матери, а затем признать право собственности на всю квартиру в порядке наследования наследниками отца.

Так, согласно ст. 264 ГПК РФ:

2. Суд рассматривает дела об установлении:
9) факта принятия наследства и места открытия наследства;

А что хотите Вы в настоящее время?

Ваш отец фактически принял наследство, поскольку проживает в квартире, которая в ходит в наследственную массу, а согласно ст. 1153 Гражданского Кодекса РФ:

2. Признается, пока не доказано иное, что наследник принял наследство, если он совершил действия, свидетельствующие о фактическом принятии наследства, в частности если наследник:
вступил во владение или в управление наследственным имуществом;
принял меры по сохранению наследственного имущества, защите его от посягательств или притязаний третьих лиц;
произвел за свой счет расходы на содержание наследственного имущества;
оплатил за свой счет долги наследодателя или получил от третьих лиц причитавшиеся наследодателю денежные средства.

а согласно разъяснениям 

Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 29.05.2012 N 9 «О судебной практике по делам о наследовании»

36. Под совершением наследником действий, свидетельствующих о фактическом принятии наследства, следует понимать совершение предусмотренных пунктом 2 статьи 1153 ГК РФ действий, а также иных действий по управлению, распоряжению и пользованию наследственным имуществом, поддержанию его в надлежащем состоянии, в которых проявляется отношение наследника к наследству как к собственному имуществу.
В качестве таких действий, в частности, могут выступать: вселение наследника в принадлежавшее наследодателю жилое помещение или проживание в нем на день открытия наследства (в том числе без регистрации наследника по месту жительства или по месту пребывания)