Так как на руках у меня не было оригинала договора, я решил обратится в отдел кадров, на что они сказали что моего договора у них нет, т.к

Здравствуйте Валерий.

Копию договора вы можете получить в Вузе, в котором вы проходили обучение. Для этого Вам следует обратиться в его администрацию с соответствующим заявлением. 

могу ли я не отрабатывать полный срок если у них нет моего договора?

Валерий

Полагаю, что отсутствие копии договора в больнице, администрации и департаменте здравоохранения — это не основание для освобождения Вас от обязанности по отработке в соответствии с условиями договора. Копия договора наверняка при необходимости будет найдена в Вузе. Кроме того, думаю, там были другие документы в департаменте и администрации: заявления, документы о целевом обучении и в вузе и администрации и другие.

Думаю так.

Удачи.

Здравствуйте Валерий.

 я заключил целевой договор с районной больницей с последующей отработкой 3 лет. я заключил трудовой договор с этой больницей в августе этого года. Так как на руках у меня не было оригинала договора, я решил обратится в отдел кадров, на что они сказали что моего договора у них нет, т.к. у них поменялся юрист и они не знают где можно его найти

Этот договор, является документом связанным с Вашей работой,  так как им закрепляется Ваша обязанность в том числе по отработке, а потому Ваше право потребовать именно от работодателя Вам его предоставить, для чего нужно подать письменное заявление, а его обязанность его найти запросить в ВУЗ, региональный Минздрав, администрацию и т.п., предпринять все что необходимо для того, чтобы Вам его выдать. Иное будет являться нарушением закона со стороны работодателя. а также Ваших прав и интересов как работника.

Данное право закреплено положениями статьи ТК РФ Статья 62. Выдача документов, связанных с работой, и их копий из которой следует что:

По письменному заявлению работника работодатель обязан не позднее трех рабочих дней со дня подачи этого заявления выдать работнику .....и другое). 
http://www.consultant.ru/docum...

А потому требуйте все от работодателя, пусть «шевелятся».

За нарушение приведенной статьи Трудового кодекса РФ предусмотрена административная ответственность за нарушение трудового законодательства, статьей КоАП РФ Статья 5.27. Нарушение трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права  — http://www.consultant.ru/docum...

Во вложении к ответу типовая форма заявления рекомендованная Рострудом РФ.