Но самое смешное, что рабочий теперь угрожает, что напишет чистосердечное признание в полиции, и что мы заплатим огромный штраф за отсутствие трудового договора

Елена, доброго времени суток!

Ремонт Вы для себя заказывали? или брали их на работу для предпринимательской деятельности?

Елена! Чисто теоретически возможно всё. 

Но в данном случае Вы должны были заключить не трудовой договор, а договор на выполнение работ (договор подряда).

Поэтому обращение в полицию ничего не даст, если Вы выступали в качестве физического лица, не являетесь индивидуальным предпринимателем или юридическим лицом.

Согласно ст. 148 Уголовно-процессуального Кодекса РФ:

1. При отсутствии основания для возбуждения уголовного дела руководитель следственного органа, следователь, орган дознания или дознаватель выносит постановление об отказе в возбуждении уголовного дела. 

Нет в Ваших действиях ни состава уголовного преступления, ни состава  административного правонарушения, и поводов для штрафов также нет.

Добрый день. А Вы физлица? Вы делали ремонт для себя?

Если так, то Вы не обязаны были заключать трудовой договор, так как не являлись работодателем в силу ст. 20 ТК РФ

Поэтому ничем Вам это не грозит  — не переживайте

Добрый день

Насколько понятно из вопроса, у вас с ним был разовый договор на ремонт квартиры? Если да, то никакие трудовые договора вы и не должны были заключать, так как у Вас не трудовые отношения, а по существу договор подряда. 

ГК РФ Статья 702. Договор подряда

1. По договору подряда одна сторона (подрядчик) обязуется выполнить по заданию другой стороны (заказчика) определенную работу и сдать ее результат заказчику, а заказчик обязуется принять результат работы и оплатить его.

Признаки трудовых отношений в таком случае отсутствуют вообще, а рабочий либо сам не понимает, что говорит, либо намеренно вводит Вас в заблуждение. не говоря уж о том, что вообще штрафы для работодателей, который действительно обязаны заключить трудовой договор, совсем не такие уж огромные

4. Уклонение от оформления или ненадлежащее оформление трудового договора либо заключение гражданско-правового договора, фактически регулирующего трудовые отношения между работником и работодателем, — влечет наложение административного штрафа на должностных лиц в размере от десяти тысяч до двадцати тысяч рублей; на лиц, осуществляющих предпринимательскую деятельность без образования юридического лица, — от пяти тысяч до десяти тысяч рублей; на юридических лиц — от пятидесяти тысяч до ста тысяч рублей.

Уточните, вообще какой-нибудь договор между Вами был? Каким образом платились деньги, наличными, на карту? Если наличными, то есть ли расписки? Работа выполнена на настоящий момент? Есть ли претензии к работе?