Как избежать лишения прописки в квартире?

Нет! Без Вашего согласия прописать не будет возможно и кроме того учетные нормы на зарегистрированного должны соответствовать нормам установленным в конкретном регионе! Если площадь будет меньше нормы — будет отказано! Еще, если человек продал свою жилплощадь и решил использовать для проживания муниципальную, то ему скорее всего откажут. И еще, чтобы не раздражать отца, Вы на словах дайте согласие, а если дойдет дело до прописки Вы всегда можете отказаться! А если изначально настроите его против себя, то может произойти следующее — Ваш отец может в судебном порядке выписать Вас, как не проживающего в квартире.

Добрый день Анастасия!

В соответствии с ч. 1 ст. 70 Жилищного кодекса РФ наниматель с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, вправе вселить в занимаемое им жилое помещение по договору социального найма своего супруга, своих детей и родителей или с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, и наймодателя — других граждан в качестве проживающих совместно с ним членов своей семьи.

То есть, дача Вашего согласия как члена семьи на вселение матери отца требуется в обязательном порядке. 

«Могу ли я лишиться таким образом прописки?» — не можете.

«Каковы последствия, если я соглашусь ее там прописать?» -согласно ч. 2 упомянутой статьи Жилищного кодекса РФ  вселение в жилое помещение граждан в качестве членов семьи нанимателя влечет за собой изменение соответствующего договора социального найма жилого помещения в части необходимости указания в данном договоре нового члена семьи нанимателя. По большому счету для Вас ничего не изменится за исключением того, что в случае приватизации квартиры новый член семьи будет также вправе участвовать в приватизации.