Здравствуйте Александр!
Положения ст. 81 ТК РФ запрещают увольнение работника, находящегося на больничном. Но это касается только случаев, когда желает расторгнуть трудовой договор работодатель.
Датойувольнения будет считаться та, что прописана в заявлении, в данном случае больничный входит вотработку при увольнении.
Судя по Вашей ситуации, это будет идеальным вариантом для Вас. С Вашей стороны не будет допущено нарушений трудового законодательства и при этом Вы сможете через неделю выйти на работу к новому работодателю.
Только трудовую книжку новому работодателю Вы сможете предоставить не сразу, поскольку предыдущий выдаст ее Вам в день увольнения — т.е. через две недели с даты подачи заявления об увольнении.
Можно уйти в отпуск, так проще