Здравствуйте!
Я бы рекомендовал какие-либо действия совершать только в том случае, если на старом месте Вы работали в бюджетной организации, т.е. чтоб Вас не обвиняли в том, что Вы нанесли ущерб бюджету, получая необоснованную зарплату или если работа в какой-либо из этих должностей дает право на льготную пенсию. Если нет, то большего смысла в этих приказах и исправлениях, нет.
У вас же две нестыковки, один Вы указали, а второй в том что сама запись о приеме на работу сделана, скорее всего, до записи об увольнении. Получается обе записи сперва надо признать недействительными и потом уже делать правильные записи в правильной последовательности.
Если нет обстоятельств указанных в начале ответа, может и так оставить.
ТК РФ Статья 66.
Форма, порядок ведения и хранения трудовых книжек, а также порядок изготовления бланков трудовых книжек и обеспечения ими работодателей устанавливаются уполномоченным Правительством Российской Федерации федеральным органом исполнительной власти.
Что касается того, что Вы были при этом приняты 15-го числа на другую работу, т.е в данном случае, с 15-го по 30-е число необходимо правоотношения оформить. как совместителю, по истечении этого периода оформить допсоглашение к трудовому договору в порядке статьи 72 Трудового кодекса РФ с изменением условий трудовых правоотношений, на основную работу.
Прядок внесения изменений в условия трудовых правоотношений, регулируются статьей 72 Трудового кодекса РФ:
На основании допсоглашения выносится приказ, с которым работника также знакомят под роспись.
Статья 22 Трудового кодекса РФ: