Имеет ли право администрация заставить меня получать платную переподготовку?

Все-таки я думаю, что они хотят сместить вас с должности и назначить на новую должность. В этом случае им нужна та квалификация, на которую хотят сместить

Вы вправе заниматься педагогической деятельностью и застввить Вас проходить переподготовку работодатель не вправе, поскольку уровень Вашего образования и квалификации соответствует закону. Согласно

Федеральный закон от 29.12.2012 N 273-ФЗ (ред. от 03.07.2016, с изм. от 19.12.2016) «Об образовании в Российской Федерации» (с изм. и доп., вступ. в силу с 01.01.2017)КонсультантПлюс: примечание.
О сохранении педагогического стажа и соответствии должностей педагогических и научно-педагогических работников в Республике Крым и городе федерального значения Севастополе см. ст. 7 Федерального закона от 05.05.2014 N 84-ФЗ.

Статья 46. Право на занятие педагогической деятельностью

1. Право на занятие педагогической деятельностью имеют лица, имеющие среднее профессиональное или высшее образование и отвечающие квалификационным требованиям, указанным в квалификационных справочниках, и (или) профессиональным стандартам.
2. Номенклатура должностей педагогических работников организаций, осуществляющих образовательную деятельность, должностей руководителей образовательных организаций утверждается Правительством Российской Федерации.