Здравствуйте, Алина.
Я скептически отношусь к идее обращения в суд за установлением юридического факта рождения в определенную дату, так как суду будет очевидно, что факт-то на самом деле установлен (запись о рождении имеется, что отражено в самом свидетельстве), а обращение в суд продиктовано желанием обойти субъективные обстоятельства, хоть и независящие от Вас. Согласно ст.265 ГПК РФ
Суд устанавливает факты, имеющие юридическое значение, только при невозможности получения заявителем в ином порядке надлежащих документов, удостоверяющих эти факты, или при невозможности восстановления утраченных документов.
Полагаю, что имеет смысл обратиться лично по телефонам, указанным в разделе «контакты» на сайте Правительства ДНР. https://pravdnr.ru/news/v-ercz-mozhno-poluchit-povtornye-dokumenty-o-gosregistraczii-aktov-grazhdanskogo-sostoyaniya/. На нем имеется информация, что прием отдел ЗАГС ведет, но этой информации уже полтора года, и она не обновляется, хотя сам сайт не смотря на спец.операцию, работает. Либо обратиться в Общественную приемную МИД ДНР https://mid-dnr.su/ru/applications/. По меньшей мере Вам следует запросить хоть какой-то письменный ответ:
-либо каким образом получить повторное свидетельство;
-либо ответ о том, что выдать его невозможно в связи с проводящейся спец.операцией (или по иным причинам). Вообще-то выдача повторных свидетельств предусмотрена, имеется даже нормативный правовой акт, регламентирующий это — Постановление Правительства ДНР от 12 сентября 2019 г. No 25-12 Об утверждении Правил государственной регистрации актов гражданского состояния.
При обращении к компетентные органы ДНР, возможно, Вам подскажут вариант, каким образом все же получить интересующий Вас документ.
Вполне может быть что на запрос ответят. Попробуйте связаться и отправьте запрос. Так будет правильнее. Суд это уже, как последний выход из ситуации. Ну если архив уничтожен (утрачен), то через суд вполне реально решить эту проблему.