Добрый день.
Если не касаться ваших взаимоотношений по поводу неофициальной работы, то работник не имеет права требовать уволить его ранее, чем через 14 календарных дней с момента заявления об увольнении. Поскольку заявление сформулировано неверно, Вам необходимо уведомить работника в письменном виде о невозможности (если вы сами не согласны уволить его раньше) уволить его в заявленную дату и о предстоящем увольнении по истечении 14 дней, т.е. 03.02.16. Если он не согласен с увольнением в данную дату, просите предоставить заявление об отказе от увольнения. Если не предоставит, следует уволить работника 03.02.16.
При этом никто не запрещает вам уволить работника по соглашению сторон 26.01.16 г. Если будете увольнять по собственному желанию 26.01.16, попросите переписать заявление, чтобы оно было датировано 12.01.16.