Здравствуйте, Алексей!
Я начал работать в организации педагогом-психологом с 26 сентября, в июне перевод на должность специалиста по работе с молодежью, а не увольнение.
Здесь Вы говорите о работе у одного работодателя (сначала в одной должности, потом в другой), а вот далее возникает нечто другое:
Отсчет 6 месяцев начинается только с момента устройства на работу либо при переводе с одной организации в другую организацию.
Если перевод осуществлялся в одной организации (у одного работодателя), то стаж для отпуска исчисляется с момента приема Вас на работу в эту организацию.
Если перевод был в другую организацию то это было увольнение по пункту 5 части первой статьи 77 Трудового кодекса РФ:
5) перевод работника по его просьбе или с его согласия на работу к другому работодателю или переход на выборную работу (должность);
Следовательно, с первым работодателем трудовые отношения должны быть прекращены полностью и с Вами должны были произвести окончательный расчет, выплатив в том числе и компенсацию за неиспользованный отпуск (за сколько дней положено). А на новом месте работы (у нового работодателя) Вы начали зарабатывать стаж для отпуска с нуля. Поэтому право на отпуск у нового работодателя возникает по общему правилу, действительно, после работы в течение 6 месяцев.
Если остались вопросы, пишите. Всего доброго!