Здравствуйте, Надежда. Конечно, вопрос нуждается в более детальном изучении, чем это могут позволить рамки заочной консультации.
В зависимости от ситуации, полагаю, что придется либо обращаться в суд с заявлением об установлении факта, имеющего юридическое значение (что маловероятно, т.к. предполагаю последующее обращение в суд с иском о постановке на учет) — места жительства ребенка в спорный период, либо с иском к органу власти субъекта Федерации с требованием поставить ребенка на жилищный учет.
При этом в случае предъявления иска одним из обстоятельств, подлежащих доказыванию, будет как раз установление места жительства ребенка в спорный период. Для доказывания можно использовать разные источники — показания свидетелей, документы (медсправки, если обращались за медпомощью в медучреждение по месту жительства; справки с места учебы или посещения ДДУ и т.д.).
В общем, любые документы, из которых можно однозначно установить, что ребенок в спорный период жил по определенному адресу.
Наиболее правильным, с учетом наличия спора о праве, будет обращение с иском о включении ребенка в очередь.