Да, подписать нужно: заявление, которое оформляет нотариус, наследник подписывает в его присутствии (ст. 44 Основ законодательства о нотариате), и сообщить нотариусу стоит, если Вам важно, чтобы отказ устоял. Пока не прошли шесть месяцев со дня открытия наследства, наследник вправе оформить отказ заново с подписью (п. 2 ст. 1157, п. 1 ст. 1154 ГК РФ), и спор о подписи отпадет
По закону отказ от наследства считается односторонней сделкой, а письменная сделка требует подписи того, кто ее совершает (п. 1 ст. 160 ГК РФ). Собственноручно написанные фамилия, имя и отчество суд может счесть подписью, но может и не счесть, и на этом другие наследники будут строить иск о признании отказа недействительным. Забрать отказ обратно закон не дает (п. 3 ст. 1157 ГК РФ), поэтому повторное заявление закрепляет то же решение, а не меняет его
Если суд признает отказ недействительным, доля не перейдет к тому, в чью пользу отказывались. Кому она достанется, зависит от того, принимал ли наследник наследство и есть ли завещание, и для человека, ради которого оформлялся отказ, это обычно значит меньше, чем он рассчитывал
После шести месяцев отказаться заново можно будет только через суд (п. 2 ст. 1157 ГК РФ), так что все решает дата открытия наследства. Пришлите в чат здесь дату смерти наследодателя, разберем, как закрыть этот риск без суда