Можно ли купить квартиру на вторичном рынке без регистрации?

Да, купить квартиру на вторичном рынке можно, даже если у человека нет регистрации по месту жительства. Закон не устанавливает такого ограничения. Отсутствие штампа в паспорте само по себе не мешает заключить сделку и зарегистрировать переход права собственности. 
Путаница часто возникает из-за смешения понятий. Регистрация по месту жительства (прописка) — это учёт по адресу, а право на приобретение недвижимости — это гражданская дееспособность. Эти вещи регулируются разными нормами, и отсутствие одного не отменяет другое. 

На что стоит обратить внимание
Хотя сама по себе регистрация покупателя не является препятствием, при сделке стоит проявить дополнительную осмотрительность. Я рекомендую:
Проверить дееспособность. Убедитесь, что покупатель дееспособен и осознаёт суть подписываемых документов. В отдельных случаях можно запросить справки из психоневрологического и наркологического диспансеров, особенно если есть сомнения в адекватности человека.
Тщательно проверить документы на квартиру. Это ключевой момент для любой сделки на вторичном рынке. Попросите продавца предоставить выписку из ЕГРН, чтобы убедиться в его праве собственности, и справку о зарегистрированных лицах (например, по форме 12), чтобы убедиться, что в квартире никто не прописан.
Учесть риски, связанные с самой квартирой. Например, наличие прописанных лиц, которые сохраняют право проживания, или неузаконенной перепланировки.
 
Таким образом, отсутствие регистрации у покупателя — не барьер для сделки, но тщательная проверка всех сопутствующих обстоятельств поможет избежать проблем в будущем. Если у вас есть конкретные сомнения по документам, лучше проконсультироваться с юристом, специализирующимся на недвижимости.