Добрый день. Выписать дядю через суд можно, и перспективы у вас хорошие. Его регистрация сама по себе права на жильё не даёт.
После смерти бабушки и перехода квартиры к вам по наследству право пользования дяди прекратилось. Он не собственник и не член вашей семьи. По общему правилу, зарегистрированные лица, не являющиеся собственниками, утрачивают право пользования при смене собственника, если иное не установлено законом или договором. Никакого договора с вами он не заключал.
Единственное, что ему может помочь — если он докажет, что был вселён бабушкой как член семьи собственника и имеет самостоятельное право пользования, которое сохраняется. Но на практике суды отказывают в таких исках, если человек просто зарегистрирован, но не является родственником, которого собственник вселял именно как члена семьи.
Что делать: подавайте иск о признании утратившим право пользования и снятии с регистрационного учёта. В иске укажите: вы собственник, дядя не член вашей семьи, соглашения о пользовании нет, коммунальные платежи он не платит, вещей его в квартире нет. Суд назначит заседание, дядя может возражать, но без документов о вселении именно как члена семьи собственника — проиграет.
Если нужна помощь с иском — напишите в личные сообщения. И если ответ был полезен, поставьте плюс.