И если требуется лечение перевезти его в лечебное учреждение по месту прописки?

Родители не могут просто «забрать» совершеннолетнего ребёнка из психиатрического отделения — всё зависит от того, дееспособен ли ребёнок, на каком основании он госпитализирован и что говорит врачебная комиссия.

Совершеннолетний гражданин по умолчанию считается дееспособным — он сам принимает решения о своём лечении. Родители перестают быть его законными представителями автоматически при достижении 18 лет. 

Родители становятся законными представителями взрослого ребёнка только если суд признал его недееспособным (или ограниченно дееспособным) и назначил родителей опекунами или попечителями. 

Но перевод в больницу по месту прописки возможен. 

всё зависит от того, на каких основаниях госпитализирован ребёнок и признан ли он дееспособным. Разберу по ситуациям.

Если ребёнок совершеннолетний и дееспособный
С 18 лет человек самостоятельно распоряжается своими правами — родители не являются его законными представителями. Это ключевой момент.

При добровольной госпитализации:

Выписка производится по личному заявлению самого пациента (ст. 40, ч. 2 Закона № 3185-1 «О психиатрической помощи»). 
Родители не могут забрать совершеннолетнего дееспособного пациента по своему заявлению — только он сам пишет заявление на выписку.
Но есть важное исключение: пациенту могут отказать в выписке, если комиссия врачей-психиатров установит основания для недобровольной госпитализации по ст. 29 — то есть если его состояние представляет непосредственную опасность для себя или окружающих, беспомощность, либо существенный вред здоровью без лечения (ст. 40, ч. 5). 
При недобровольной госпитализации (по ст. 29):

Выписка производится только по заключению комиссии врачей-психиатров или постановлению судьи (ст. 40, ч. 3). 
Родители не могут забрать такого пациента по своей инициативе — решение принимает врачебная комиссия или суд.
При принудительном лечении по решению суда:

Выписка — только по решению суда (ст. 40, ч. 4). 
Если ребёнок признан недееспособным
Если совершеннолетний признан недееспособным в судебном порядке, у него назначается опекун (чаще всего это один из родителей). В этом случае опекун является законным представителем и имеет право:

подать заявление на выписку (ст. 40, ч. 2); 
отказаться от лечения (ст. 12). 
Но и здесь врач может удержать пациента, если сочтёт, что состояние требует недобровольной госпитализации.

Перевод в лечебное учреждение по месту прописки
Перевод в психиатрический стационар по месту жительства возможен, но это не автоматическое право — процедура зависит от типа госпитализации:

Добровольный пациент: перевод осуществляется по мотивированному заявлению самого пациента (или его законного представителя, если он недееспособен). Лечащий врач и врачебная комиссия оформляют медицинскую выписку и передают документы в принимающее учреждение. 
Недобровольный пациент: перевод между стационарами одного типа в пределах региона согласовывается главным психиатром органа управления здравоохранением; между регионами — главным психиатром Минздрава РФ. 
Перевод возможен только если психическое состояние пациента на момент перевода не содержит оснований для принудительной госпитализации (ст. 29) — то есть он не представляет опасности для себя или окружающих. 
Что делать на практике
Уточните статус госпитализации — добровольная или недобровольная. Это можно узнать у лечащего врача или в приёмном отделении.
Если добровольная: пусть сам пациент напишет заявление на выписку или перевод. Если родители хотят инициировать перевод — нужно подать заявление главврачу учреждения.
Если недобровольная: обратитесь к лечащему врачу с запросом о состоянии пациента и возможности перевода. Если отказывают — можно обратиться к главврачу, в прокуратуру (надзор за психиатрическими учреждениями) или в суд.
Если пациент признан недееспособным и вы — опекун: подавайте заявление на перевод как законный представитель.