Или же виновник может через связи тянуть время?

Про то, что дело лежало отдельно. Это не норма. Материалы дела должны быть сгруппированы: либо в папке с пострадавшими, либо в папке без пострадавших. То, что документы лежали отдельно под листочком, — признак неорганизованности, но само по себе не лишает вас права получить бумаги.

Про аргумент «вы на больничном, подождём судмедэксперта». Это не основание для отказа выдать документы вам. По закону сотрудник ГИБДД обязан предоставить участнику ДТП копии материалов дела (постановление, протокол, схему, объяснения) по вашему запросу. То, что позже в рамках административного расследования назначат экспертизу и дело передадут в суд, не блокирует ваше право забрать оформленные на месте документы сейчас. Инспектор мог запутаться или перестраховываться, но с юридической точки зрения он обязан был выдать бумаги. 

Про «связи виновника». Теоретически кто-то может пытаться влиять на процесс, но на практике это сложно доказать. Чаще проблема не в скрытых связях, а в бюрократической волоките или нежелании конкретного сотрудника оперативно оформить выдачу. Поэтому не стоит сразу винить заговоры — лучше исходить из того, что есть организационные сложности.

Про срок 5 дней для страховой. Действительно, в законе (ФЗ «Об ОСАГО») есть рекомендация уведомить страховую в течение 5 дней. Но это не жёсткий барьер: если у вас была уважительная причина (как в вашем случае — больничный), страховая компания обязана принять заявление позже. Главное — приложить документ, подтверждающий причину (лист нетрудоспособности). Так что не переживайте из-за этого срока сейчас. 

Что делать сейчас?
Напишите официальное заявление на имя руководителя подразделения ГИБДД, где оформляли ДТП. В заявлении чётко укажите: «Прошу выдать мне как участнику ДТП копии следующих документов: постановление/протокол, схема, объяснения». Сделайте копию заявления и попросите поставить на ней отметку о приёме (дата, входящий номер, подпись сотрудника) — это будет доказательством, что вы действовали официально. 
Параллельно позвоните в свою страховую компанию. Сообщите о ситуации, назовите дату ДТП и объясните, почему документы задержались (больничный, задержка выдачи в ГИБДД). Так вы зафиксируете, что уведомили страховщика, и сможете вместе обсудить дальнейший шаг (например, пока ждать материалы, начать оценку ущерба, когда появится возможность).
Если после официального заявления документы всё равно не отдадут — можно направить жалобу в вышестоящее управление МВД или в прокуратуру. 
Действуйте спокойно и последовательно: официальный запрос обычно решает вопрос быстрее, чем устные переговоры. Удачи в решении вопроса!