Продлевается ли ежегодный отпуск при оформлении больничного листа?

Добрый день!

Да, ежегодный оплачиваемый отпуск может быть продлён при оформлении больничного листа, если заболел сам сотрудник во время этого отпуска. Это предусмотрено статьёй 124 Трудового кодекса РФ. 
Продление происходит автоматически на количество календарных дней, указанных в листке нетрудоспособности (с учётом выходных и праздничных дней). 
Работник обязан уведомить работодателя о болезни. Способ оповещения не регламентирован законом — можно сообщить по телефону, электронной почте или через мессенджер. 
Оформлять заявление о продлении или издавать отдельный приказ не обязательно — документом, подтверждающим продление, будет сам больничный лист. Однако на практике рекомендуется зафиксировать волеизъявление сотрудника, чтобы избежать путаницы в табеле и графике отпусков. 
Если работник хочет использовать неиспользованные из-за болезни дни в другое время, он может перенести отпуск на другой срок по соглашению с работодателем. В этом случае требуется заявление от сотрудника, издание приказа и корректировка графика отпусков. 

Когда продление или перенос отпуска не применяется:
если сотрудник взял больничный не для себя, а в связи с болезнью члена семьи (например, ребёнка); 
если работник находился в отпуске за свой счёт, учебном отпуске или по уходу за ребёнком; 
если больничный оформлен во время отпуска с последующим увольнением. 
Также стоит учитывать, что если период болезни пришёлся на нерабочие праздничные дни, отпуск на них не продлевается. 
Важно: больничный лист, открытый в период ежегодного отпуска, оплачивается в общем порядке — первые три дня за счёт работодателя, остальное — через Социальный фонд России (СФР). 

Здесь всё упирается в одну дату: день открытия листка нетрудоспособности.

По вашим же данным отпуск закончился 13 июля, а выйти на работу нужно было 14-го, лист вы планируете открыть завтра. Продление отпуска по статье 124 ТК РФ работает только тогда, когда нетрудоспособность наступила в период самого отпуска. Больничный, открытый после его окончания, отпуск не продлевает и не переносит: это обычная нетрудоспособность в рабочие дни.

Разница для вас практическая. В первом случае вы получаете дополнительные дни отдыха, во втором оплату по больничному, но отпуск считается использованным полностью.

Уточните для себя: 01.06-13.07 это фактический период вашего отпуска или он уже продлён приказом и продолжается сейчас? От этого зависит и второй ваш вопрос, с какого дня пойдут две недели предупреждения об увольнении, потому что болезнь их течение не приостанавливает.