Здравствуйте.
Скорее всего нотариус говорил не про долю в самой квартире, а про долю в праве на земельный участок и общее имущество дома - без неё нотариус физически не может оформить сделку. По ст. 35 Земельного кодекса РФ и ст. 552 ГК РФ при переходе права на объект недвижимости одновременно переходит и право на землю под ним. Если по документам у Вас "квартира" в двухквартирном доме, а земля под домом оформлена в общую долевую собственность с соседями (или вообще не выделена на отца отдельно), то нотариус не может подарить только квартиру - нужно, чтобы у отца была юридически оформленная и зарегистрированная в ЕГРН доля земельного участка (и/или доля в общем имуществе дома), которую можно передать вместе с квартирой.
Второй возможный вариант - квартира куплена в браке и по факту является совместной собственностью супругов (ст. 34 СК РФ), даже если в ЕГРН отец записан один. Тогда для дарения либо нужно нотариальное согласие супруги, либо предварительно определить (выделить) доли супругов в этом имуществе через соглашение о разделе или брачный договор - тогда у отца появится "своя" доля, которую он законно сможет подарить.
Без точного текста выписки ЕГРН на землю и без сведений о том, покупалась ли квартира в браке, сказать однозначно, какой из двух вариантов сработал у Вас, нельзя - но проверить это несложно, и дальше действовать конкретно по документам.