Здравствуйте.
Отсутствие акта - это уже нарушение со стороны школы: расследование несчастного случая с обучающимся обязательно, и легкую травму комиссия школы должна расследовать в течение 3 календарных дней с момента события. Раз прошёл месяц - школа свою обязанность откровенно проигнорировала.
По сути ответственности: если травма произошла во время организованного мероприятия (спортивные соревнования в лагере), пока ребёнок находился под надзором сотрудников учреждения, ответственность за вред здоровью несёт именно учреждение - по ст. 1073 ГК РФ, пока школа не докажет, что в причинении вреда нет её вины по надзору. То есть бремя доказывания того, что они "не виноваты", лежит на школе, а не на Вас.
Вам полагается возмещение и материального ущерба (лекарства, реабилитация, платные обследования), и морального вреда - причём с иском по компенсации морального вреда госпошлину платить не нужно. Но есть нюанс: без акта доказывать сам факт получения травмы именно на мероприятии в лагере придётся через свидетелей, медицинские документы с указанием обстоятельств, переписку с администрацией. Поэтому первым шагом нужно письменно "дожать" школу на составление акта, пока это не превратилось в затяжной спор о доказательствах.
Получите конкретный план действий по ситуации: что сделать дальше, какие документы подготовить и на какие сроки ориентироваться.