Ответ команды Правовед
Забрать собаку они не имеют права отказом просто так - приют обязан вернуть животное владельцу, если тот заявляет права на него, но фактическое доказывание принадлежности лежит на Вас, поскольку животное сейчас физически у них (п. 59 Постановления Пленума ВС РФ № 50 - принадлежность имущества презюмируется за тем, у кого оно находится).
Фото - это не нулевой аргумент, но и не железное доказательство. Суд и сам приют будут смотреть на совокупность: есть ли на фото узнаваемые особенности (окрас, метки, ошейник, место съёмки - именно Ваш участок), есть ли даты съёмки, серия фотографий за разный период (не одна случайная), совпадают ли с описанием собаки, которую держит приют. Если у собаки есть чип или бирка - это меняет всё, приют по региональным правилам обязан искать владельца через эти данные. Если чипа нет - придётся собирать дополнительно: ветеринарные записи, показания соседей, чеки на корм, публикации в соцсетях о поиске собаки за те несколько дней, что искали.
Отказ приюта отдавать животное без суда - это по факту удержание чужого имущества, которое можно оспорить через ст. 301 ГК РФ (истребование имущества из чужого незаконного владения). Но есть нюанс - если приют успел подать заявление об отлове/находке и с этого момента прошло больше времени, возможны варианты с изменением статуса собаки, тут важно уточнять детали именно Вашего случая.
Готовый разбор
Получите конкретный план действий по ситуации: что сделать дальше, какие документы подготовить и на какие сроки ориентироваться.