Присвоение звания "прапорщик" не связано напрямую с наличием военной кафедры - отдел кадров ссылается не на ту норму. Присвоение звания зависит от того, занимаете ли Вы штатную должность, для которой предусмотрено это звание, и от прохождения аттестации, а не от факта прежней срочной службы - ст. 47 ФЗ № 53-ФЗ.
По факту у Вас сейчас двойное несоответствие: должность фельдшера штатно предполагает прапорщика, а звание держат рядового. При этом с Вашим дипломом врача и стажем 5 лет по специальности возможен и другой вариант - назначение на офицерскую должность и присвоение звания "лейтенант медицинской службы" через аттестацию, ст. 52 ФЗ № 53-ФЗ. Отсутствие военной кафедры в вузе для этого не помеха - это условие для присвоения звания офицера запаса при постановке на учёт до контракта, а не при службе по контракту на медицинской должности.
Отказ кадров звучит как формальная отговорка, а не как отказ по закону. Тут важно понять, действительно ли должность врача в части свободна и предусмотрена штатом, и подавали ли Вы рапорт официально или речь шла об устных обещаниях.