Даже если письменный трудовой договор с вами не подписывали, отношения всё равно считаются трудовыми, если вы фактически работали с ведома работодателя. То есть отсутствие «бумаги» не лишает вас права на зарплату, просто факт работы при споре придётся подтверждать (свидетели, переписка, пропуск, фото с рабочего места, переводы на карту и любые другие доказательства того, что вы там трудились).
Согласно ст. 140 ТК РФ: при прекращении трудового договора выплата всех сумм, причитающихся работнику от работодателя, производится в день увольнения работника. То есть и остаток за май (10 500 рублей), и заработок за 13 отработанных дней июня (19 500 рублей) работодатель обязан был отдать вам в последний рабочий день полностью.
Более того, за каждый день задержки вам положена не только сама зарплата, но и денежная компенсация по статье 236 ТК РФ не ниже одной сто пятидесятой действующей в это время ключевой ставки Центрального банка за каждый день просрочки, причём эта обязанность возникает независимо от его вины. Дополнительно вы вправе требовать компенсацию морального вреда по статье 237 ТК РФ.
Сначала имеет смысл направить работодателю письменную претензию (заказным письмом с уведомлением или вручить под подпись) с требованием выплатить долг и указанием конкретных сумм — это пригодится как доказательство, что вы требовали деньги официально, а не только на словах. Если он не реагирует, у вас есть три параллельных пути, и можно использовать их одновременно. Первый — жалоба в Государственную инспекцию труда; инспекция проводит проверку и может выдать предписание. Второй — заявление в прокуратуру, которая тоже вправе вмешаться, тем более что за невыплату зарплаты предусмотрена ответственность по статье 5.27 КоАП РФ, а при длительной задержке — и по статье 145.1 УК РФ. Третий способ — иск в суд. По трудовым спорам работник освобождён от госпошлины (статья 393 ТК РФ), а подать иск можно в течение одного года со дня, когда зарплата должна была быть выплачена (статья 392 ТК РФ) — этот срок лучше не пропускать, поэтому не затягивайте.
Изложенное носит информационный характер и не является официальной юридической консультацией. Для защиты прав в вашем конкретном споре рекомендую обратиться к практикующему юристу, который изучит документы и поможет составить претензию и иск.