Здравствуйте!
В данной ситуации мать ребенка не вправе требовать деньги за регистрацию сына по месту своего жительства. Регистрация несовершеннолетнего ребенка до 14 лет производится по месту жительства одного из родителей (ст. 20 ГК РФ). При этом согласие собственника жилья, в котором зарегистрирован родитель, для регистрации ребенка обычно не требуется.
Если ребенок фактически уже давно проживает с матерью, а квартира бабушки продается, то проблему можно решить без каких-либо выплат матери. Отец вправе обратиться в подразделение по вопросам миграции МВД и уточнить порядок регистрации ребенка по месту фактического проживания. Если мать уклоняется от оформления регистрации, вопрос может быть разрешен через суд.
Следует учитывать, что продажа квартиры, в которой зарегистрирован несовершеннолетний, сама по себе не запрещена. Однако наличие зарегистрированного ребенка существенно осложняет сделку, поскольку покупатели обычно требуют снятия всех зарегистрированных лиц с регистрационного учета до сделки или одновременно с ней.
В вашей ситуации я бы рекомендовал:
Зафиксировать, что ребенок фактически проживает с матерью.
Предложить матери добровольно зарегистрировать ребенка по месту его проживания.
Сохранить переписку, если она требует деньги за регистрацию.
При отказе обратиться в суд с требованием определить место жительства ребенка (если оно ранее не определено) и урегулировать вопрос регистрации по месту фактического проживания.
После этого решать вопрос со снятием ребенка с регистрационного учета в квартире бабушки.
При этом сам факт регистрации ребенка в квартире бабушки не дает ему права собственности на квартиру и не препятствует ее продаже, но создает для собственника дополнительные организационные сложности.
Если вам необходимо разобрать ваш вопрос детально, то напишите мне в личный чат.