Добрый день!
Вам как гражданину Республики Беларусь с временной регистрацией в Москве ничто не мешает купить автомобиль и оформить его на себя, при условии что вы находитесь в России законно и срок регистрации (или иного документа о правовом статусе — миграционная карта, РВП, ВНЖ, виза) действует на момент постановки машины на учет в ГИБДД.
Российское законодательство не устанавливает запрета для иностранцев на приобретение и регистрацию транспортных средств; важным является наличие документов, подтверждающих законность пребывания в РФ, и соблюдение общих правил регистрации ТС, которые одинаковы для граждан России и иностранцев (ст. 209, 218 ГК РФ о праве собственности и его приобретении; ст. 15, 16 Федерального закона от 10.12.1995 № 196‑ФЗ «О безопасности дорожного движения», устанавливающих обязанность регистрации транспортных средств).
Для покупки вам нужен паспорт, а в договоре купли‑продажи и при подаче документов в ГИБДД указываете ваш действующий адрес места пребывания по временной регистрации, который будет использоваться как адрес для направления юридически значимой корреспонденции (ст. 165.1 ГК РФ; при отсутствии постоянной регистрации указывается адрес по свидетельству о временной регистрации, что следует из разъяснений на портале «Госуслуги»).
После заключения договора вы в течение 10 дней обращаетесь в любое подразделение ГИБДД с пакетом документов: паспорт, документ о законном пребывании (временная регистрация, миграционная карта, РВП/ВНЖ или виза), договор купли‑продажи, ПТС/ЭПТС, заявление о регистрации, полис ОСАГО и квитанция об уплате госпошлины; процедура для иностранца соответствует общему порядку регистрации, закрепленному в п. 3 Правил государственной регистрации транспортных средств в регистрационных подразделениях Государственной инспекции безопасности дорожного движения Министерства внутренних дел Российской Федерации (утв. постановлением Правительства РФ от 21.12.2019 № 1764).